VIGAS EMPOTRADAS

Como ya hemos visto en los artículos anteriores dentro de éste capítulo a cerca de las vigas, que ellas son las responsables de las cargas de la estructura, y existen de madera, de hormigón, prefabricadas, etcétera, pero en este articulo, que a continuación presentamos, nos referiremos a las vigas empotradas, que como su palabra lo indica, se refiere a las vigas que además de apoyadas en ambos extremos, son las que se deben fijar con trabes para que no se muevan o se deslicen. Para empotrar ese tipo de vigas, se usan ciertos elementos de soporte, que pueden ser tornillos, o pernos tuercas, arandelas, y remaches de gran porte, y no uno solo sino seis o cuatro para cada caso en particular. Hay casos en los que este tipo de vigas se encuentran clavadas, de manera muy firme en una pared de extremo a extremo, pero apoyadas en otra viga que esa puede estar solo apoyada.Para colocar las vigas de una estructura se necesitan varios cálculos que quienes son los responsables de ellos son los ingenieros de la obra, es por ello que cada caso es único, y en donde se ponen este tipo de vigas, no se pueden colocar otros. Los ingenieros, mediante los cálculos y ecuaciones, llegan a la conclusión que los momentos de fuerzas son diferentes en cada caso, es por ello que en las estructuras se hacen necesario contar con ingenieros de obra que son quienes tienen la responsabilidad de hacer las correctas formulas y llevar a cabo los trabajos. Es muy simple la explicación, se trata de las vigas empotradas cuando se encuentran firmemente sujetadas mediante los anclajes correspondientes a otro medio de apoyo que en este caso es vertical, y que sirve de apoyo o sustento. Se hacen diagramas, planos, y estudios analizando cada detalle, ya que esas constituyen una parte fundamental en las estructuras.

Sí, por eso que en el caso de las vigas empotradas, podemos encontrar las bi empotradas o las semi apoyadas. Se necesitan vigas de gran porte para confeccionar las estructuras de una vivienda por ejemplo de madera, las que en la mayoría de los casos llevan las vigas empotradas, en la que se han llevado a cabo estudios de desplazamientos, y pendientes sobre las mismas, pero previos a la colocación y trabe. Estos son elementos estructurales, que van a recibir cargas en forma perpendicular y en posición horizontal, o muchas veces ligeramente inclinadas, y se pueden construir de un solo tramo, o de varios, eso es según el número de apoyos, los refuerzos se hacen en la cara superior y en la cara inferior de cada viga. En los casos en los que se necesiten estructuras más sólidas las vigas empotradas, deberán contar con otros elementos extras, para poder de esa manera aumentar la resistencia, y no la rigidez, por ejemplo para los casos en construcciones en zonas sísmicas.

I.- INTRODUCCIÓN

El análisis de las deformaciones en vigas nos permite limitar los descensos de las mismas, entregando secciones adecuadas y por otra parte incorporar nuevas expresiones para resolver vigas hiperestáticas.

Una forma de enfocar la resolución de las vigas hiperestáticas consiste en descomponer la viga inicial en varias vigas cuyo efecto sumado equivalga a la situación original.

Las solicitaciones externas, cargas y reacciones, generan cortante, momento y deformación, siendo válido el principio de descomposición de las vigas en vigas cuyas acciones sumen el mismo efecto.

Este principio puede ser aplicado a vigas hiperestáticas, tales como

Vigas bi -empotradas

Vigas empotrada-apoyada

Vigas continuas

VIGA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA

En el caso de viga empotrada en sus dos extremos, la cantidad de reacciones desconocidas supera a la de ecuaciones que la estática dispone para el sistema. Para resolver las incógnitas es necesario disponer de otras ecuaciones basadas en las deformaciones.

Considerando que las pendientes de las tangentes trazadas en los dos extremos es nula, se plantean las siguientes ecuaciones

A= 0 B = 0

Para establecer las ecuaciones se descompone la viga dada en tres vigas supuestas que en conjunto equivalgan a la viga inicial.

a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.

b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo (Ma).

c.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo derecho (Mb).

VIGA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y SIMPLEMENTE APOYADA EN EL OTRO, CON CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA.

En este caso de viga empotrada en uno de sus extremos, la cantidad de reacciones desconocidas también supera a la de ecuaciones de estática. Para resolver las incógnitas es necesario disponer de las ecuaciones basadas en las deformaciones.

Considerando que la pendiente de la tangente trazada en el extremo empotrado es nula, se plantea la ecuación:

A= 0

Se descompone la viga inicial en dos vigas supuestas que en conjunto equivalen a la viga inicial.

a.- Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.

b.- Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo izquierdo.

Vigas con soportes simples (biapoyadas)

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas

Vigas Empotradas

Teoría de vigas de Euler-Bernoulli

Esquema de deformación de una viga que ilustra la diferencia entre la teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernoulli: en la primera θ_i y dw/dx_i no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.

La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales sonsólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales.

Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son:

Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable.
Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical solo depende de x: u_y(x, y) = w(x).
Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra solo sufren desplazamiento vertical y giro: u_x(x, 0) = 0.
La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σ_yy= 0.
Hipótesis de Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.

Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-Bernouilli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como exacta (cuando en vigas reales es solo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis (1)-(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:

u_x(x,y) = -y\theta_z(x)= -y\frac{dw}{dx} \qquad u_y(x,y) = w(x)

Deformaciones y tensiones en las vigas

Artículo principal: Pendientes y deformaciones en vigas

Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a:

\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = -y\frac{d^2 w}{dx^2} \qquad \varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0 \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \right ) = {0}

A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke, asumiendo

\sigma_{yy}={0},\sigma_{zz}={0}

\sigma_{xx}=-E y\frac{d^2 w}{dx^2} \qquad \sigma_{xy} = {0}

Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, o módulo de Young, y G el módulo de elasticidad transversal. Es claro que la teoría de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energía de deformación tangencial, para tal fin deberá recurrirse a la teoría de Timoshenko en la cual:

\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left (\frac{dw}{dx}-\theta_z \right)

Esfuerzos internos en vigas

a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenerse sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que está sometida una sección de una viga sometida a flexión simple en la teoría de Euler-Bernouilli:

N_x = \int_\Sigma \sigma_{xx} dydz = 0 \qquad V_y = \int_\Sigma \sigma_{xy} dydz = 2GA \frac{dw}{dx} \qquad M_z = \int_\Sigma y\sigma_{xx} dydz = EI_z\frac{d^2 w}{dx^2}

Donde: A área de la sección transversal, I_z el momento de inercia según el eje respecto al cual se produce la flexión. La última de estas ecuaciones es precisamente la ecuación de la curva elástica, una de las ecuaciones básicas de la teoría de vigas que relaciona los esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo serían la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones solo se pueden cumplir si la variación de esfuerzo cortante y momento flector están relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:

\frac{\partial V_y(x)}{\partial x} = p_y(x) \qquad \frac{\partial M_z(x)}{\partial x} = V_y(x)

Cálculo de tensiones en viga

El cálculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variación de los esfuerzos internos y a partir de ellos aplicar la fórmula adecuada según la viga esté sometida a flexión, torsión, esfuerzo normal oesfuerzo cortante. El tensor tensión de una viga viene dado en función de los esfuerzos internos por:

$[T]_{xyz} = \begin{bmatrix} \sigma & \tau_{y} & \tau_{z} \\ \tau_{y} & 0 & 0 \\ \tau_{z} & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Donde las tensiones pueden determinarse, aproximadamente, a partir de los esfuerzos internos. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecánico, las tensiones asociadas a la extensión, flexión, cortante y torsión resultan ser:

\sigma = \frac{N_x}{A} + \frac{M_yz}{I_y} - \frac{M_zy}{I_z} + \omega \frac{B_\omega}{I_\omega}

\tau_{y} = \tau_{y,cort} + \tau_{y,tor} \qquad \tau_{z} = \tau_{z,cort} + \tau_{z,tor}

Donde:

\sigma; \tau_{i,tor}, \tau_{i,cort}\;

son las tensiones sobre la sección transversal: tensión normal o perpendicular, y las tensiones tangenciales de torsión y cortante.

N_x; M_y, M_z; B_\omega\;

, son los esfuerzos internos: esfuerzo axial, momentos flectores y bimomento asociado a la torsión.

A; I_y, I_z; \omega, I_\omega\;

, son propiedades de la sección transversal de la viga: área, segundos momentos de área (o momentos de inercia), alabeo y momento de alabeo.

Las máximas tensiones normal y tangencial sobre una sección transversal cualquiera de la viga se pueden calcular a partir de la primera (

\scriptstyle \sigma_I\ \ge\ 0

) y tercera (

\scriptstyle \sigma_{III}\ \le\ 0

) tensión principal:

$\sigma_{I} = \frac{\sigma}{2} + \sqrt{\frac{\sigma^2}{4}+(\tau_y^2+\tau_z^2)} \qquad \sigma_{III} = \frac{\sigma}{2} - \sqrt{\frac{\sigma^2}{4}+(\tau_y^2+\tau_z^2)}$

$\sigma_{max} = \mbox{max} (|\sigma_{I}|,|\sigma_{III}|) \qquad \tau_{max} = \frac{\sigma_{I}-\sigma_{III}}{2}$

En vigas metálicas frecuentemente se usa como criterio de fallo el que en algún punto la tensión equivalente de Von Mises supere una cierta tensión última definida a partir del límite elástico, en ese caso, el criterio de fallo se puede escribir como:

\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_{I}-\sigma_{II})^2+(\sigma_{II}-\sigma_{III})^2 +(\sigma_{III}-\sigma_{I})^2}{2}} = \sqrt{\sigma^2+3(\tau_y^2+\tau_z^2)} > \sigma_u

Ejercicios:

Cálculo de secciones de líneas eléctricas

El cálculo de secciones de líneas eléctricas es un método de cálculo para obtener la sección idónea de los conductores empleados, siendo el conjunto de conductores capaz de:

transportar la potencia requerida con total seguridad;
que dicho transporte se efectúe con un mínimo de pérdidas de energía;
mantener los costes de instalación en unos valores aceptables.

A la hora de dimensionar un conductor se aplican tres criterios básicos:

que su caída de tensión ( $\Delta V$ ) esté dentro de los límites admisibles;
que el calentamiento por efecto Joule no destruya el material aislante del conductor;
que en caso de cortocircuito, no se destruya el conductor.

Cálculo por caída de tensión

La caída de tensión (

\Delta V

) se produce como consecuencia de la resistencia de los conductores. Como regla general, en España, se permite una (

\Delta V

) máxima de:¹

3% para cualquier circuito interior de viviendas.
3 % en instalaciones de alumbrado.
5 % en el resto de instalaciones.

La normativa puede establecer otros valores para la caída de tensión máxima admisible. Existen diversas formas de calcular la sección mínima del conductor para diferentes situaciones:

Líneas de corriente continua

$S=\frac{2\rho L\ I}{\Delta V}$

donde S es la sección del conductor,

\rho

la resistividad, la I la intensidad prevista en el conductor y

\Delta V

la caída de tensión permitida.

Líneas de corriente alterna monofásica

$S=\frac{2 \rho L \ I \ \cos\varphi}{\Delta V}$

Líneas de corriente alterna (trifásica)

$S=\frac{\sqrt{3} \rho L \ I \cos\varphi}{\Delta V}$

donde:

\Delta V

es caída de tensión en voltios.

\cos \varphi

es el factor de potencia activa.

L

es la longitud del cable en metros.

\rho

es la resistividad en

\Omega\cdot\mathrm{mm}^2

Momento eléctrico de una línea

El momento eléctrico de una línea es el producto de la carga eléctrica por la distancia hasta el origen. Puede considerarse como el equivalente de la línea constituido por un único tramo de línea con una única carga en su extremo.

En corriente continua:

$M=L \ I$

En corriente alterna:

$M=L \ I \cos\varphi$

donde:

M, momento eléctrico, en amperios por metro [A·m].

L, longitud de la línea, en metros [m].

I = intensidad de corriente eléctrica, en amperios [A].

\cos\varphi

, factor de potencia, adimensional.

Líneas con cargas irregularmente repartidas

Momento eléctrico:

$M=\Sigma (L \ I \cos\varphi)=L_{1} I_{1} \cos\varphi_{1}+(L_{1}+L_{2})I_{2} \cos\varphi_{2}+\dots+(L_{1}+L_{2}+\dots+L_{n})I_{n} \cos\varphi_{n}$

Expresión desarrollada para este caso:

$S=\frac{2 \rho M}{\Delta V};$

$S=\frac{2 \rho \Sigma (L \ I \cos\varphi)}{\Delta V}$

Es el método general de cálculo de líneas por caída de tensión.'

Líneas con cargas uniformemente repartidas

Son un caso particular de líneas con cargas irregularmente repartidas. Se pueden calcular como las anteriores, o mediante un método específico.

Momento eléctrico:

$L_{x}=\frac {L_{0}}{2}+\frac{\Sigma L}{2}$

Expresión desarrollada para este caso:

$S=\frac{2 \rho L_{x} \Sigma\ I}{\Delta V}$

Líneas alimentadas por ambos extremos a la misma tensión

En este tipo de líneas aparece el punto de mínima tensión, que es aquel en donde la C.D.T. es máxima. Dicho punto puede considerarse como el centro de gravedad de la línea. Para su cálculo:

Obtenemos el valor de $I_x$ e $I_y$ .

$I_y= \frac { \Sigma (L \cdot I) }{L}$

$I_x= \Sigma (I) - \frac { \Sigma (L \cdot I) }{L} = \Sigma (I) - I_{y}$

Ahora, basándonos en la Ley de Nudos de Kirchoff, vamos restando de izquierda a derecha las intensidades a $I_x$ , hasta el primer resultado negativo. Esta intensidad negativa debe coincidir, tanto si la calculamos de izquierda a derecha como de derecha a izquierda. El punto donde aparece dicha intensidad es el Punto de Mínima Tensión.

$I_{bc} = I_x - I_1 \$

$I_{cd} = I_{bc} - I_2 \$

$I_{de} = I_{cd}-I_3 \$

$\cdots$

Sustituimos el valor de la última intensidad empleada en los cálculos antes de llegar a un valor negativo por el valor obtenido.

División de la red por el punto de mínima tensión

Una vez seccionada la línea en dos ramas, calculamos cualquiera de las dos por uno de los métodos anteriores. El resultado será válido para las dos ramas.

Ejemplo de cálculo

Línea de corriente continua alimentada por dos extremos

Calcular la sección de conductor más adecuada para la línea de la figura:

( $\Delta V$ : 5 Voltios; $\rho=0,0175 \Omega mm^2 m^{-1}$ )

Calculamos $I_x$ e $I_y$

Primero con $I_x$ :

$I_x = \frac{ \Sigma (L \cdot I)}{L};$

$I_x = \frac{150 \cdot 40 + 300 \cdot 30 + 500 \cdot 20 + 700 \cdot 10}{800};$

$I_x = 40 Amperios; \$

Ahora con $I_y$ :

$I_y = \Sigma I - I_x; \$

$I_y = (40+30+20+10)Amp - 40 Amp; \$

$I_y = 60 Amperios; \$

Hallamos el punto de mínima tensión

$I_{bc} = I_x - I_b = 40 Amp - 40 Amp = 0 Amperes; \$

$I_{cd} = I_{bc} - I_c = 0 Amp - 30 Amp = { \color{ Red } -30 Amperes} ; \$

El punto de mínima tensión se encuentra en la carga C.

Seccionamos la línea en dos ramas

De las cuales tomamos una cualquiera.

Calculamos la sección por C.D.T. para la rama seccionada

$S= \frac{2 \cdot \rho}{\Delta V} \Sigma (L \cdot I);$

$S= \frac{2 \cdot 0,0175 \Omega mm^2 m^{-1}}{5V} \Sigma (150 \cdot 40 + 300 \cdot 0) A \cdot m;$

$S= 42 mm^2 \approx S_{comercial}=50 mm^2$

Como 42 mm² no es una sección comercial, se instalará un conducto de sección inmediatamente superior, 50 mm².

Líneas en anillo

Estas líneas son, en realidad, líneas alimentadas por ambos extremos a la misma tensión, y se calculan de forma idéntica a las anteriores

Líneas con ramificaciones

En este caso, se calcula la rama principal, según los métodos anteriores, considerando la suma de todas las cargas de las ramas secundarias aplicadas en el punto de unión entre las ramas principal y secundaria.

El principal inconveniente puede ser repartir la caída de tensión entre la rama principal y las extremas. Lo podemos hacer de forma heurística o calcular la caída de tensión óptima para conseguir un volumen mínimo de conductor (criterio económico).

Cálculo por calentamiento

En todo momento, el conductor ha de soportar la intensidad máxima del circuito sin deteriorarse. Por ello, la intensidad nominal del conductor ha de ser mayor a la intensidad máxima del circuito.

El elemento que va a limitar la temperatura máxima a la que es capaz de trabajar el cable es su aislamiento, generalmente de material plástico. Las temperaturas máximas admisibles para los distintos tipos de aislamiento son:²

Material	Temperatura de servicio (°C)	Temperatura de cortocircuito (t< 5s)(°C)
PVC	70	160
Polietileno reticulado (XLPE)	90	250
Etileno-Propileno (EPR)	90	250

Los nuevos aislamientos a base de poliolefinas termoplásticas (cables libres de halógenos) se consideran, a efectos de cálculo, como de PVC.

Cálculo por corriente máxima de cortocircuito

Por sus características (gran intensidad y corta duración), durante un cortocircuito se considera un calentamiento adiabático del conductor, es decir, todo el calor generado, se invierte en elevar la temperatura del cable.

Mediante la siguiente expresión³ se puede calcular la corriente máxima de cortocircuito para una sección determinada:

$I_{cc}^{2} t_{cc} = K^{2} S^{2} \ln \left( \frac{ \beta + \theta _{f}}{ \beta + \theta _{i} }\right)$

donde:El cálculo de secciones de líneas eléctricas es un método de cálculo para obtener la sección idónea del conductor a emplear, siendo este capaz de:

transportar la potencia requerida con total seguridad;
que dicho transporte se efectúe con un mínimo de pérdidas de energía;
mantener los costes de instalación en unos valores aceptables.

A la hora de dimensionar un conductor se aplican tres criterios básicos:

que su caída de tensión ( $\Delta V$ ) esté dentro de los límites admisibles;
que el calentamiento por efecto Joule no destruya el material aislante del conductor;
que en caso de cortocircuito, no se destruya el conductor.

Justificación

Este tema es muy importante para nuestra carrera de ingeniera mecánica y eléctrica .

1.

ESPINOZA GRIMALDO RICKSON

domingo, 1 de noviembre de 2015

EVP5

VIGAS EMPOTRADAS

Vigas con soportes simples (biapoyadas)

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas

Teoría de vigas de Euler-Bernoulli

Deformaciones y tensiones en las vigas

Esfuerzos internos en vigas

Ecuaciones de equilibrio

Cálculo de tensiones en viga

jueves, 8 de octubre de 2015

EVAP4

Electricidad

Cálculo de secciones de líneas eléctricas

Cálculo por caída de tensión

Momento eléctrico de una línea

Líneas con cargas irregularmente repartidas

Líneas con cargas uniformemente repartidas

Líneas alimentadas por ambos extremos a la misma tensión

División de la red por el punto de mínima tensión

Ejemplo de cálculo

Línea de corriente continua alimentada por dos extremos

Líneas en anillo

Líneas con ramificaciones

Cálculo por calentamiento

Cálculo por corriente máxima de cortocircuito

2.

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